2022 高等代数(信阳师范学院)1467137660 最新满分章节测试答案

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本课程起止时间为:2022-02-28到2022-07-17

【作业】第一周（第五章 二次型） 第一周作业

1、 问题:写出二次型  的矩阵。
评分规则: 【
】

2、 问题:用配方法将二次型  化为标准形。
评分规则: 【 作非退化线性替换二次型可化为 
注意到, 作线性替换可将二次型化为
其中
】

3、 问题:设是一实矩阵，求证：.
评分规则: 【 只需要证明方程组与方程组同解。容易看出，第二个方程组的解也是第一个方程组的解，因此只要证明第一个方程组的解也是第二个方程组的解。设，则我们有，即有. 由于在实数域上考虑，必有。
】

4、 问题:求证：秩等于的矩阵可以表成个秩为的对称矩阵之和。
评分规则: 【 设对称矩阵的秩为，则存在可逆矩阵使得，其中是对角矩阵并且对角线上前个元素不为零，其余元素为零。注意到其中对角线第个元素与的对角线第个元素相同，其余元素为零的矩阵。我们有是个秩为的矩阵。
】

5、 问题:设是一个阶方阵，求证：（1）是反对称矩阵当且仅当对任意维向量有成立；（2）如果是对称矩阵，并且对任意维向量有成立，那么。
评分规则: 【 （1）对，取为第个位置为其余位置为的向量，则，因此的对角线上的元素全为。
对，取 为第个位置和第个位置上元素为其余位置元素为的向量，则。综上为反对称矩阵。
（2）一个方阵即是对称矩阵又是反对称矩阵，则它必是零矩阵。
】

【作业】第二周 (第五章 二次型) 第二周作业

1、 问题:判断二次型是否正定。
评分规则: 【 注意到
可以看出此二次型是正定的。
】

2、 问题:求证：如果实对称矩阵是正定的，则也是正定的。
评分规则: 【 显然也是对称矩阵并且必有。
我们有。由此可得是正定的。
】

3、 问题:求证：是半正定的。
评分规则: 【 注意到，容易看出此二次型是半正定的。
】

4、 问题:设和都是正定矩阵，求证：也是正定矩阵。
评分规则: 【 对于非零向量，我们有，因此是正定的。
】

5、 问题:取什么值时二次型是正定的？
评分规则: 【 考虑顺序主子式均大于零可得
解得。
】

6、 问题:设是实对称矩阵，求证：当实数充分大之后，是正定矩阵。
评分规则: 【 对任意方阵，设，我们有因此，充分大时必有
由上面的分析可知，对任意，存在使得当时有的阶顺序主子式大于零，取则当时，是正定的。
】

【作业】第四周 (第六章 线性空间) 第四周作业

1、 问题:
评分规则: 【

】

2、 问题:
评分规则: 【
】

3、 问题:
评分规则: 【
】

4、 问题:
评分规则: 【

】

5、 问题:
评分规则: 【
】

6、 问题:
评分规则: 【
】

7、 问题:
评分规则: 【


】

【作业】第五周 (第六章 线性空间) 第五周作业

1、 问题:
评分规则: 【
】

2、 问题:
评分规则: 【
】

3、 问题:
评分规则: 【
】

4、 问题:
评分规则: 【
】

5、 问题:
评分规则: 【
】

【作业】第六周 (第七章 线性变换) 第六周作业

1、 问题:
评分规则: 【
】

2、 问题:
评分规则: 【
】

3、 问题:
评分规则: 【

】

【作业】第七周 (第七章 线性变换) 第七周作业

1、 问题:
评分规则: 【

】

2、 问题:
评分规则: 【


】

3、 问题:
评分规则: 【


】

【作业】第九周(第七章 线性变换) 第九周作业

1、 问题:
评分规则: 【
】

2、 问题:
评分规则: 【