2020 数学分析(华东交通大学) 最新满分章节测试答案

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本课程起止时间为:2020-02-16到2020-06-14
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第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元测验

1、 问题:平面点集的非孤立界点必是
选项：
A:内点
B:外点
C:聚点
D:孤立点
答案: 【聚点】

2、 问题:平面点集的外点必是
选项：
A:聚点
B:孤立点
C:界点
D:其他选项都不对
答案: 【其他选项都不对】

3、 问题:下面哪个选项不可能是二元函数的图像
选项：
A:坐标平面
B:平面上的点集
C:坐标轴
D:三维空间中的球面
答案: 【三维空间中的球面】

4、 问题:开集中的点可能是
选项：
A:集合的内点
B:集合的外点
C:集合的聚点
D:集合的界点
答案: 【集合的内点;
集合的聚点】

5、 问题:非空域中的点可能是
选项：
A:集合的内点
B:集合的界点
C:集合的外点
D:集合的聚点
答案: 【集合的内点;
集合的界点;
集合的聚点】

6、 问题:二元函数的定义域可能是
选项：
A:平面上的曲线
B:平面上的闭集
C:三维空间上的球及其内部
D:三维空间上的立方体
答案: 【平面上的曲线;
平面上的闭集】

7、 问题:平面上点的空心邻域是
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

8、 问题:平面上点的空心邻域是
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

9、 问题:闭域一定是连通闭集
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

10、 问题:连通开集一定是开域
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

11、 问题:闭域套定理相应的开域套定理仍成立
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

12、 问题:无界点集必有聚点
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

13、 问题:有界点集的任意开覆盖必有有限子覆盖
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

14、 问题:有界闭集的任意开集覆盖必有有限子覆盖
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

15、 问题:平面点集的聚点一定属于该点集
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元作业

1、 问题:设，，且在附近有. 证明
评分规则: 【 由，对任意，存在，当时，
由，对上述，存在正数，当时，
取，在邻域上，,所以
】

2、 问题:讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时，不存在，所以累次极限不存在
同理另一个累次极限也不存在
而，所以重极限存在，为0
】

3、 问题:讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时，，所以累次极限
时，，所以累次极限
, ,所以重极限不存在
】

4、 问题:讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时，不存在，所以累次极限等于0
同理另一个累次极限也为0
, 所以重极限不存在
】

5、 问题:叙述并证明二元函数极限的局部保号性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限且，则存在邻域，在上恒大于0
利用极限定义，取，则存在邻域，在上
那么在上，
】

6、 问题:叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限, 则存在邻域，在上有界
利用极限定义，取，则存在邻域，在上
那么在上，
】

7、 问题:叙述并证明二元函数极限的唯一性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限, 则极限值唯一
反证，假设极限值不唯一，即有两个不同的实数都是在点处的极限
不妨设，利用极限定义，取，则存在邻域，在上, 所以有
对上述的，存在邻域，在上, 所以有
取, 在邻域上，，矛盾，所以极限值必唯一
】

【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元作业

1、 问题:已知，求
评分规则: 【
】

2、 问题:设，若当时，，求函数和.
评分规则: 【

】

3、 问题:求函数的定义域，其中
评分规则: 【
】

4、 问题:证明开集的余集为闭集
评分规则: 【 设为开集，对的任意聚点，要证明，即要证明不属于
反证，假设，由开，存在，使
由是的聚点，对任意，
两者矛盾，所以反证假设不成立，即不属于，所以，由的任意性，是闭集.
】

5、 问题:证明开集的并和交仍是开集
评分规则: 【 都是开集，对任意的，即且
所以，存在，使得，
令，则，所以是的内点，由的任意性，开
对任意的，即或
所以，存在，使得，
所以, 所以是的内点，由的任意性，开
】