2020 数学分析2(山西农业大学)1454091442 最新满分章节测试答案

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【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第二单元作业

1、 问题:设，，且在附近有. 证明
评分规则: 【 由，对任意，存在，当时，
由，对上述，存在正数，当时，
取，在邻域上，,所以
】

2、 问题:讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时，不存在，所以累次极限不存在
同理另一个累次极限也不存在
而，所以重极限存在，为0
】

3、 问题:讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限
评分规则: 【 时，不存在，所以累次极限等于0
同理另一个累次极限也为0
, 所以重极限不存在
】

4、 问题:叙述并证明二元函数极限的局部保号性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限且，则存在邻域，在上恒大于0
利用极限定义，取，则存在邻域，在上
那么在上，
】

5、 问题:叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限, 则存在邻域，在上有界
利用极限定义，取，则存在邻域，在上
那么在上，
】

6、 问题:叙述并证明二元函数极限的唯一性定理
评分规则: 【 若在点处存在极限, 则极限值唯一
反证，假设极限值不唯一，即有两个不同的实数都是在点处的极限
不妨设，利用极限定义，取，则存在邻域，在上, 所以有
对上述的，存在邻域，在上, 所以有
取, 在邻域上，，矛盾，所以极限值必唯一
】

【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第三单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第三单元作业

1、 问题:叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
评分规则: 【 若二元函数在点连续，且，则存在点的某个邻域，使得在该邻域上，函数值总大于0.
取, 则存在点的某个邻域，使得在该邻域上，
那么，
】

2、 问题:设定义在矩形区域上，若对在上处处连续，对在上（且关于）为一致连续，证明在上处处连续.
评分规则: 【 对任意点，由于对在上（且关于）为一致连续，所以对存在，使得当时，
由对在上处处连续，存在，当时，
令，当时，所以在处连续
由的任意性，在上处处连续
】

3、 问题:设在区域上对连续，对满足利普西茨条件：其中，为常数，试证明在上处处连续.
评分规则: 【 对任意点，由在区域上对连续，所以对存在，使得当时，
由在区域上对满足利普西茨条件，取，当时，
令，当时，所以在处连续
由的任意性，在上处处连续
】

4、 问题:设证明：在上连续，但不一致连续.
评分规则: 【 由函数表达式可知，在上是初等函数，所以在定义区域内处处连续
下面证明不一致连续，即内的收敛点列，使得数列不收敛
取，点列，收敛于点, 但是数列不收敛，所以不一致收敛
】

5、 问题:设在上分别对每一自变量和是连续的，并且每当固定时对是单调的，证明是上的二元连续函数.
评分规则: 【 对任意点，由对连续，所以对存在，使得,
对点，由对连续，存在，当时，
对点，由对连续，存在，当时，
当固定时对是单调的，所以当时，介于和之间
当时，，
所以有，即在点连续，由的任意性，是上的二元连续函数.
】

6、 问题:设为定义在上的连续函数，是任一实数，,证明是开集，是闭集.
评分规则: 【 先证是开集，即证明集合中的点都是的内点
对任意的，有
取，存在某个，在上
那么在上，
即，所以是的内点，由的任意性，开
下面证是闭集，即证明的聚点都属于
设是的聚点，即存在一个含于的点列，使得
由集合的定义，有
利用函数的连续性，有，所以属于
由的任意性，有的所有聚点都属于，即闭
】

第十六章 多元函数的极限与连续 第三单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第三单元测验

1、 问题:二元函数在点A连续，且f(A)>0, 则必存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数值恒大于0.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

2、 问题:二元函数在点A连续，且f(A)=0, 则必存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数值恒等于0.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

3、 问题:二元函数在点A连续，且f(A)<0, 则必存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数值恒小于0.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

4、 问题:若存在A的某个邻域，使得在该邻域内二元函数有界，则该二元函数在点A连续.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

5、 问题:若二元函数在点A处存在重极限，则在点A处二元函数连续
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

6、 问题:若二元函数在点A处以f(A)为极限，则在点A处二元函数连续.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

7、 问题:若, 则
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

8、 问题:若, 则
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

9、 问题:若二元函数在点A都连续，且, 则必存在点A的某邻域，在该邻域上恒有
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

10、 问题:若二元函数在点A都不连续，则在点A不连续
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

11、 问题:闭域上的连续函数必有最大最小值
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

12、 问题:有界闭集上的连续函数是一致连续的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

13、 问题:有界闭集上的连续函数的值域一定是闭区间.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

14、 问题:有界闭集上的连续函数满足介值性
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

15、 问题:区域上的一致连续二元函数一定是连续的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

【作业】第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元 第十六章 多元函数的极限与连续 第一单元作业