2020 数学分析（六）(华东师范大学)1461042444 最新满分章节测试答案

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【作业】第十九章 含参量积分第一单元 第十九章 含参量积分第一单元作业

1、 问题:求极限
评分规则: 【 解：由于在上连续, 据定理19.1 有
】

2、 问题:应用对参量的微分法,求积分
评分规则: 【 解：令当时, , 因而为连续函数,且具有连续偏导数,
于是
从而恒等于常数, 根据知
(Ⅱ)当时, 令, 则 于是有,
(Ⅲ)当时,有同理综上所述,得知
】

3、 问题:研究函数的连续性,其中在闭区间上是正的连续函数.
评分规则: 【 解：对任一,取, 使,于是,被积函数在上连续,则在上连续,特别在处连续.由于的任意性,这说明在上连续.
又由于,所以,在上连续,
以下考虑在处的连续性.由于为上正的连续函数,则存在最小值,当时,有从而有.但,于是在处不连续.所以在时连续,在处不连续.
】

4、 问题:设函数在闭区间上连续,证明:
评分规则: 【 证: 令,由微分学基本定理知.
从而
则
】

5、 问题:设,其中为可微函数,求 .
评分规则: 【 解: 据定理19.4知:

】

6、 问题:设 ,其中与为上的连续函数.证明
评分规则: 【 证: 将函数改写为
从而
故.
】

第十九章 含参量积分第一单元 第十九章 含参量积分第一单元测验

1、 问题:在是连续的, 其中是符号函数.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

2、 问题:在 是连续的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

3、 问题:若在不连续,则在也不连续.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

4、 问题:在连续.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

5、 问题:在是连续的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

6、 问题:设, 在 都连续,定义在,值域在,则可微.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

7、 问题:设 , 在都连续,则成立.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

8、 问题:设 , 在都连续,则成立.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

9、 问题:设 , 在存在,则成立.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

10、 问题:设在连续，则
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

11、 问题:设在连续，,其中定义在,值域在,则在上可积
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

12、 问题:设在连续，,其中定义在,值域在且连续,则在上可积
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

13、 问题:在是连续的.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

14、 问题:设,则对 可以在积分下求导.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

15、 问题:设, 在 都连续并且,则 成立.
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

16、 问题:设在有定义，则
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

17、 问题:设在有定义，,其中定义在,值域在,则在上可积
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【错误】

18、 问题:
答案: 【2】

19、 问题:
答案: 【1】

20、 问题:
答案: 【-2】

21、 问题:
答案: 【8】

【作业】第十九章 含参量积分第二单元 第十九章 含参量积分第二单元作业

1、 问题:证明Ⅰ) 在上一致收敛;Ⅱ) 在上不一致收敛.
评分规则: 【 证：Ⅰ) 由于对, 有,且收敛 ,由M判别法知 在 上一致收敛;
Ⅱ)因为在不连续,而在内连续, 由连续性定理知在上不一致收敛.
】

2、 问题:求下列积分:(1) ;(2).
评分规则: 【 解：(1)由本节例5,得上式;
(2)由易证含参量反常积分在上一致收敛.由于在上连续,由定理19.11知交换积分顺序,值不变,
于是
由于原积分值是的偶数,从而当时,以上结果也对,当时,显然这一计算结果也满足,故对任一都有.
】

3、 问题:回答下列问题:(1)对极限能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解?(2)对能否运用积分顺序交换来求解?(3)对能否运用积分与求导运算顺序交换来求解?
评分规则: 【 解: (1)因为,因而,但,可见交换运算后不相等;
(2) 因为而所以积分顺序不能交换.
(3) 因为,因此,但 ,而在处积分值为零.故积分与求导运算不能交换.
】

4、 问题:应用.证明(1) ;(2) .
评分规则: 【 证明: (1)
(2) 设,则
所以.
】

5、 问题:设为上的连续非负函数,在上连续,证明在上一致收敛.
评分规则: 【 证：任取一个趋于的递增数列(其中).考察级数,
由已知在上且连续,从而且在上连续.
由狄尼定理得级数在上一致收敛.由定理19.8推得在上一致收敛.
】